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2、九章算術(shù) 卷第一 方田——里田術(shù)
原文
[3]今有田廣一里，從一里。問(wèn)為田幾何？
答曰：三頃七十五畝。
[4]今有田廣二里，從三里。問(wèn)為田幾何？
答曰：二十二頃五十畝。
里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。
今譯：
[1]已知一塊正方形的田地邊長(zhǎng)為1里。問(wèn)這塊田地的面積是多少？
解：1里=300步，1畝=240平方步，100畝=1頃
正方形田地面積=1里×1里
=300步×300步
=90000（平方步）
=90000÷240
=375畝
=3頃75畝
由此歸納出：1平方里=375畝
[2] 已知一塊長(zhǎng)方形的田地寬2里，長(zhǎng)3里。問(wèn)這塊田地的面積是多少？
解：長(zhǎng)方形田地面積=2里×3里
=6（平方里）
=6×375畝
=2250畝
=22頃五十畝
計(jì)算長(zhǎng)寬以“里”為單位的長(zhǎng)方形面積的方法：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（里數(shù)）乘以寬（里數(shù)），所得的積為長(zhǎng)方形田地的面積（積里，即為：平方里）。用所得的積乘以375畝，得數(shù)即為田地的畝數(shù)。
即：積里=廣（里）×從（里）
畝數(shù)=積里×375畝
評(píng)議：
上一講我們學(xué)習(xí)了《九章算術(shù)》的方田術(shù)，給出了長(zhǎng)方形（含正方形）的面積公式，計(jì)算了以“步”為長(zhǎng)度單位的面積，定義了1畝標(biāo)準(zhǔn)，即1畝=240平方步，還規(guī)定了100畝=1頃。
這一講我們繼續(xù)學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的里田術(shù)，還是求解長(zhǎng)方形田地的面積，只是將之前的小單位“步”改成大單位“里”。
對(duì)于“里田術(shù)”，筆者談?wù)勎覀€(gè)人的感想：
1、古人已經(jīng)認(rèn)識(shí)到“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”，只是正方形的邊長(zhǎng)仍然稱(chēng)為廣（寬）和從（長(zhǎng)）。
1平方里方田示意圖
前兩道題都是求長(zhǎng)方形的面積，而第三題是求正方形面積，通過(guò)此題的計(jì)算過(guò)程（面積=長(zhǎng)×寬），我們可以推出：古人已經(jīng)認(rèn)識(shí)正方形就是長(zhǎng)方形，只是特殊的一類(lèi)長(zhǎng)方形（廣與從相等）。
通過(guò)此題定義了1平方里的標(biāo)準(zhǔn)，等于375畝。
2、感嘆古人能嫻熟地運(yùn)用“九九表”。
“九九表”由誰(shuí)首創(chuàng)，何時(shí)創(chuàng)造，已無(wú)從考證。但有一點(diǎn)是可以明確的，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，“九九表”已經(jīng)廣泛流行了。
她又為什么叫“九九表”，而不是“一一表”呢？由于我國(guó)古代乘法口訣是從“九九八十一”倒敘的，而非現(xiàn)代從“一一得一” 順敘的。為了方便記憶，古人采用起始兩字“九九”來(lái)表示此種方法。
古時(shí)的計(jì)算是用算籌（參見(jiàn)我的文章“算、筭、祘”）進(jìn)行的，在乘除運(yùn)算中，一邊念叨“九九”乘法口訣，一邊擺弄算籌，得出結(jié)果。此過(guò)程對(duì)于當(dāng)時(shí)的人們頗為神秘。至于如何運(yùn)用算籌進(jìn)行加減乘除開(kāi)方等運(yùn)算，我會(huì)另起文章敘述。
3、感嘆古人對(duì)（平方）步、（平方）里、畝、頃單位之間的換算相當(dāng)熟練。
通過(guò)翻譯解題的過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)，如果不對(duì)原文進(jìn)行翻譯，邊長(zhǎng)為1里的正方形田地面積，今人是無(wú)法理解其答案的（三頃七十五畝）。正是這個(gè)過(guò)程，說(shuō)明古人對(duì)（平方）步、（平方）里、畝、頃單位之間的換算是非常熟練的。
平方步、平方里、畝、頃單位之間的換算規(guī)律
4、疑惑
筆者還有個(gè)疑惑，古時(shí)的（平方）步、（平方）里、畝、頃與今天的平方米是如何換算的呢？還需要查閱資料。
參考文獻(xiàn)
1、肖作政編譯.《九章算術(shù)今解》.大連：遼寧人民出版社，1990
2、郭書(shū)春譯注.《九章算術(shù)譯注》.上海：上海古籍出版社，2009
3、鄒涌譯解.《九章算術(shù)》.重慶：重慶出版社，2023
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